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初三下册数学知识点归纳2016

时间:2020-09-25 07:48:59

第二十六章 二次函数

  26.1 二次函数及其图像

  二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

  一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

  一般式

  y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a) ;

  顶点式

  y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;

  交点式

  y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] ;

  重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

  牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)

  y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距)

  求根公式

  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

  求根公式

  x是自变量,y是x的二次函数

  x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

  (即一元二次方程求根公式)(如右图)

  求根的方法还有因式分解法和配方法

  在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像,

  可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

  不同的二次函数图像

  如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。

  注意:草图要有 1本身图像,旁边注明函数。

  2画出对称轴,并注明X=什么

  3与X轴交点坐标,与Y轴交点坐标,顶点坐标。抛物线的性质

  轴对称

  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

  对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

  顶点

  2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,4ac-b^2;)/4a )

  当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2;-4ac=0时,P在x轴上。

  开口

  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

  |a|越大,则抛物线的开口越小。

  决定对称轴位置的因素

  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号

  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号

  可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab< 0 ),对称轴在y轴右。

  事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

  决定抛物线与y轴交点的因素

  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

  抛物线与y轴交于(0,c)

  抛物线与x轴交点个数

  6.抛物线与x轴交点个数

  Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

  Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

  _______

  Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

  当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在

  {x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

  当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

  特殊值的形式

  7.特殊值的形式

  ①当x=1时 y=a+b+c

  ②当x=-1时 y=a-b+c

  ③当x=2时 y=4a+2b+c

  ④当x=-2时 y=4a-2b+c

  二次函数的性质

  8.定义域:R

  值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,

  正无穷);②[t,正无穷)

  奇偶性:当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数。

  周期性:无

  解析式:

  ①y=ax^2+bx+c[一般式]

  ⑴a≠0

  ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;

  ⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);

  ⑷Δ=b^2-4ac,

  Δ>0,图象与x轴交于两点:

  ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);

  Δ=0,图象与x轴交于一点:

  (-b/2a,0);

  Δ<0,图象与x轴无交点;

  ②y=a(x-h)^2+k[顶点式]

  此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a;

  ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)

  对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦(X1+X2)/2时Y随X

  的增大而减小

  此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连

  用)。

  交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。

  26.2 用函数观点看一元二次方程

  1. 如果抛物线 与x轴有公共点,公共点的横坐标是 ,那么当 时,函数的值是0,因此 就是方程的一个根。

  2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。

  26.3 实际问题与二次函数

  在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率等问题,有些可归结为求二次函数的值或最小值。

为大家整理的数学初三一元二次方程知识点的文章,供大家学习参考!

1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时,ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式,研究一元二次方程的有关问题时,多数习题要先化为一般形式,目的是确定一般形式中的a、 b、 c; 其中a 、 b,、c可能是具体数,也可能是含待定字母或特定式子的代数式.

2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用, 其中直接开平方法虽然简单,但是适用范围较小;公式法虽然适用范围大,但计算较繁,易发生计算错误;因式分解法适用范围较大,且计算简便,是首选方法;配方法使用较少.

3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时,Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题:

Δ>0 <=> 有两个不等的实根; Δ=0 <=> 有两个相等的实根;

Δ<0 <=> 无实根; Δ≥0 <=> 有两个实根(等或不等).

4. 一元二次方程的根系关系: 当ax2+bx+c=0 (a≠0) 时,如Δ≥0,有下列公式:


第一章 证明(二)
一、等腰三角形
1、定义:有两边相等的三角形是等腰三角形。
2、性质:1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
2.等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线,底边上的高的重合(“三线合一”)
3.等腰三角形的两底角的平分线相等。(两条腰上的中线相等,两条腰上的高相等)
   4.等腰三角形底边上的垂直平分线上的点到两条腰的距离相等。
   5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半
   6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(可用等面积法证)
   7.等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴,顶角平分线所在的直线是它的对称轴
3、判定:在同一三角形中,有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称:等角对等边)。
特殊的等腰三角形
等边三角形
1、定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形,又叫做正三角形。
(注意:若三角形三条边都相等则说这个三角形为等边三角形,而一般不称这个三角形为等腰三角形)。
2、 性质 :⑴等边三角形的内角都相等,且均为60度。
  ⑵等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。
⑶等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
3、判定:⑴三边相等的三角形是等边三角形。
⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形。
⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
⑷ 有两个角等于60度的三角形是等边三角形。
二、直角三角形全等
1、 直角三角形全等的判定 有5种:
(1)、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;(ASA)
(2)、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等;(SAS)
(3)、三边对应相等的两个三角形全等;(SSS)
(4)、两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;(AAS)
(5)、斜边及一条直角边对应相等的两个三角形全等;(HL)
2、在直角三角形中,如有一个内角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半
3、在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半
4垂直平分线:垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
性质:线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
判定:到一条线段两端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
5、三角形的三边的垂直平分线交于一点,并且这个点到三个顶点的距离相等,交点为三角形的外心。
6、角平分线上的点到角两边的距离相等。
7、在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。
8、 角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
9、三角形三条角平分线交于一点,并且交点到三边距离相等,交点即为三角形的内心。
10、三角形三条中线交于一点,交点为三角形的重心。
11、三角形三条高线交于一点,交点为三角形的垂心。
三、平行四边的定义
1、定义:两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形,
2、性质:(1)平行四边形的对边相等,(2)对角相等,(3)对角线互相平分。
3、判定:(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
(2)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
(5)一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形。
(6)一组对边平行,一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形。
两个假命题:(1)一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形。
(2)一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形。
四、矩形
1、定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
2、性质:(1)具有平行四边形的性质,(2)对角线相等,(3)四个角都是直角。
(4)矩形是轴对称图形,有两条对称轴。
3、判定:(1)有三个角是直角的四边形是矩形。
(2) 对角线相等的平行四边形是矩形。
五、菱形
1、定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、性质:(1)具有平行四边形的性质,(2)四条边都相等,(3)两条对角线互相垂直,每一条对角线平分一组对角。(4) 菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。
3、判定:(1)四条边都相等的四边形是菱形。
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(3)一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。
六、 正方形
1、定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、性质:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
3、判定:(1)有一个内角是直角的菱形是正方形;
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形;
(3)对角线相等的菱形是正方形;
(4) 对角线互相垂直的矩形是正方形。
七、梯形 定义:一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
八、 等腰梯形 1、定义: 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线相等。
3、 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
九、三角形的中位线
定义:连接三角形两边中点的线段。
性质:平行于第三边,并且等于第三边的一半。
十、梯形的中位线
定义:连接梯形两腰中点的线段。
性质:平行于两底,并且等于两底和的一半。

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