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2016九年级下册数学知识点归纳

时间:2020-09-25 07:48:45

第二十六章 二次函数

  26.1 二次函数及其图像

  二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

  一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:

  一般式

  y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a) ;

  顶点式

  y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(-m,k)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;

  交点式

  y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1,0)和 B(x2,0)的抛物线] ;

  重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

  牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)

  y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2) (y1为截距)

  求根公式

  二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

  求根公式

  x是自变量,y是x的二次函数

  x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

  (即一元二次方程求根公式)(如右图)

  求根的方法还有因式分解法和配方法

  在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像,

  可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

  不同的二次函数图像

  如果所画图形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。

  注意:草图要有 1本身图像,旁边注明函数。

  2画出对称轴,并注明X=什么

  3与X轴交点坐标,与Y轴交点坐标,顶点坐标。抛物线的性质

  轴对称

  1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

  对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。

  特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

  顶点

  2.抛物线有一个顶点P,坐标为P ( -b/2a ,4ac-b^2;)/4a )

  当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b^2;-4ac=0时,P在x轴上。

  开口

  3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

  当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。

  |a|越大,则抛物线的开口越小。

  决定对称轴位置的因素

  4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

  当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是- b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号

  当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0,所以a、b要异号

  可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab< 0 ),对称轴在y轴右。

  事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

  决定抛物线与y轴交点的因素

  5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

  抛物线与y轴交于(0,c)

  抛物线与x轴交点个数

  6.抛物线与x轴交点个数

  Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。

  Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

  _______

  Δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)

  当a>0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在

  {x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

  当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

  特殊值的形式

  7.特殊值的形式

  ①当x=1时 y=a+b+c

  ②当x=-1时 y=a-b+c

  ③当x=2时 y=4a+2b+c

  ④当x=-2时 y=4a-2b+c

  二次函数的性质

  8.定义域:R

  值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a,

  正无穷);②[t,正无穷)

  奇偶性:当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数。

  周期性:无

  解析式:

  ①y=ax^2+bx+c[一般式]

  ⑴a≠0

  ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下;

  ⑶极值点:(-b/2a,(4ac-b^2)/4a);

  ⑷Δ=b^2-4ac,

  Δ>0,图象与x轴交于两点:

  ([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);

  Δ=0,图象与x轴交于一点:

  (-b/2a,0);

  Δ<0,图象与x轴无交点;

  ②y=a(x-h)^2+k[顶点式]

  此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b/2a,k=(4ac-b^2)/4a;

  ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)

  对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时,Y随X的增大而增大,当a>0且X≦(X1+X2)/2时Y随X

  的增大而减小

  此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连

  用)。

  交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。

  26.2 用函数观点看一元二次方程

  1. 如果抛物线 与x轴有公共点,公共点的横坐标是 ,那么当 时,函数的值是0,因此 就是方程的一个根。

  2. 二次函数的图象与x轴的位置关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根。

  26.3 实际问题与二次函数

  在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率等问题,有些可归结为求二次函数的值或最小值。

一.知识框架
  二.知识概念
  二次根式:一般地,形如√ā(a≥0)的代数式叫做二次根式。当a>0时,√a表示a的算数平方根,其中√0=0
  对于本章内容,教学中应达到以下几方面要求:
  1. 理解二次根式的概念,了解被开方数必须是非负数的理由;
  2. 了解最简二次根式的概念;
  3. 理解并掌握下列结论:
  1) 是非负数; (2) ; (3) ;
  4. 掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关实数的简单四则运算;
  5. 了解代数式的概念,进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。
  第二十二章 一元二次根式
  一.知识框架
  二.知识概念
  一元二次方程:方程两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.
  一般地,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a≠0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式.
  一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a≠0)后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
  本章内容主要要求学生在理解一元二次方程的前提下,通过解方程来解决一些实际问题。
  (1)运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.
  (2)配方法解一元二次方程的一般步骤:现将已知方程化为一般形式;化二次项系数为1;常数项移到右边;方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程无实根.
  介绍配方法时,首先通过实际问题引出形如 的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如 的方程,由平方根的概念,可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如 的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程,引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及二次项系数不是1的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程,学了“公式法”以后,学生对这个内容会有进一步的理解。
  (3)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:
  解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根.(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,加、减、乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
  第二十三章 旋转
  一.知识框架
  二.知识概念
  1.旋转:在平面内,将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度,这样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角。(图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动,其中对应点到旋转中心的距离相等,对应线段的长度、对应角的大小相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变。)
  2.旋转对称中心:把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角(旋转角小于0°,大于360°)。
  3.中心对称图形与中心对称:
  中心对称图形:如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合,那么我们就说,这个图形成中心对称图形。
  中心对称:如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合,那么我们就说,这两个图形成中心对称。
  4.中心对称的性质:
  关于中心对称的两个图形是全等形。
  关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
  关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或者在同一直线上)且相等。
  本章内容通过让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念,探索旋转的性质,进一步发展空间观察,培养几何思维和审美意识,在实际问题中体验数学的快乐,激发对学习学习。
  第二十四章 圆
  一.知识框架
  二.知识概念
  1.圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。
  2.圆弧和弦:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意
  意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
  3.圆心角和圆周角:顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
  4.内心和外心:过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。
  5.扇形:在圆上,由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
  6.圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。
  7.圆和点的位置关系:以点P与圆O的为例(设P是一点,则PO是点到圆心的距离),P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO
  8.直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线;圆与直线有公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个的公共点叫做切点。
  9.两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P:外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r
  10.切线的判定方法:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
  11.切线的性质:(1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。(2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。(3)圆的切线垂直于经过切点的半径。
  12.垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
  13.有关定理:
  平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
  在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.
  在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
  半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
  14.圆的计算公式  1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180
  15.扇形面积S=π(R^2-r^2) 5.圆锥侧面积S=πrl

第22章 一元二次方程

  学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程 —— 一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程,讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。

  本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念,给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解,对一元二次方程的解加以体会,并给出一元二次方程的根的概念,

  “22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。

  (1)在介绍配方法时,首先通过实际问题引出形如 的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如 的方程,由平方根的概念,可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如 的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程,引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及二次项系数不是1的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程,学了“公式法”以后,学生对这个内容会有进一步的理解。

  (2)在介绍公式法时,首先借助配方法讨论方程 的解法,得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及有两个相等实数根的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。

  (3)在介绍因式分解法时,首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程,引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。

  “22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目,分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题,使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

  第23章 旋转

  学生已经认识了平移、轴对称,探索了它们的性质,并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。“旋转”一章就来认识这种变换,探索它的性质。在此基础上,认识中心对称和中心对称图形。

  “23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上,通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。

  “23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上,通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后,通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系,以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。

  “23.3课题学习 图案设计”一节让学生探索图形之间的变换关系(平移、轴对称、旋转及其组合),灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计。

  第24章 圆

  圆是一种常见的图形。在“圆”这一章,学生将进一步认识圆,探索它的性质,并用这些知识解决一些实际问题。通过这一章的学习,学生的解决图形问题的能力将会进一步提高。

  “24.1圆”一节首先介绍圆及其有关概念。然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论,并运用这些结论解决问题。接下来,让学生探究弧、弦、圆心角的关系,并运用上述关系解决问题。最后让学生探究圆周角与圆心角的关系,并运用上述关系解决问题。

  “24.2与圆有关的位置关系”一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念,并通过证明“在同一直线上的三点不能作圆”引出了反证法。然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的结论。最后介绍圆和圆的位置关系。

  “24.3正多边形和圆”一节揭示了正多边形和圆的关系,介绍了等分圆周得到正多边形的方法。

  “24.4弧长和扇形面积”一节首先介绍弧长公式。然后介绍扇形及其面积公式。最后介绍圆锥的侧面积公式。

  第25 章 概率初步

  将一枚硬币抛掷一次,可能出现正面也可能出现反面,出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢?学了“概率”一章,学生就能更好地认识这个问题了。掌握了概率的初步知识,学生还会解决更多的实际问题。

  “25.1概率”一节首先通过实例介绍随机事件的概念,然后通过掷币问题引出概率的概念。

  “25.2用列举法求概率”一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法。然后安排运用这种方法求概率的例题。在例题中,涉及列表及画树形图。

  “25.3利用频率估计概率”一节通过幼树成活率和柑橘损坏率等问题介绍了用频率估计概率的方法。

  “25.4课题学习 键盘上字母的排列规律”一节让学生通过这一课题的研究体会概率的广泛应用。

数学知识点相关知识

1.物体的表面或封闭图形的大小,就是他们的面积。  2.比较两个图形面积的大小,要用统一的面积单位来测量。  3.常用的面积单位有平方厘米(cm2),平方分米(dm2)、平方米(m2)。  4.边长1厘米的正方形面积是1平方厘米。  5.边长1分米的正方形面积是1平方分米。  6.边长1米的正方形面积是1平方米。  7.边长100米的正方形面积是1公顷(10000平方米)。  8.边长1千米(10
第二十七章相似  一、图形的相似  1.图形的相似:如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。(相似的符号:∽)性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等。  2.判定:如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似。 3.相似比:相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时,相似的两个图形全等。  二、相似三角形  1.性质:平行于三角形一边的直线和其他两
28.1锐角三角函数1.Rt△ABC中∠A的对边(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦,记作sinA= 斜边∠A的邻边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦,记作cosA= 斜边∠A的对边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切,记作tanA= ∠A的邻边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切,记作cota= ∠A的对边28.2解直角三角形解直角三角形 一、锐角三角函数 (一)、锐
26.1 二次函数及其图像  二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。  一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:  一般式  y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a) ;  顶点式  y=
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)抛物线与x轴交点个数6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。_______Δ= b^2-4ac0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b&sup2;/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|

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