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初三下册数学二次函数知识点与练习题

时间:2020-09-25 07:48:34

第一单元(26章)二次函数
第一课时:26.1 二次函数(1)
教学目标:
(1)能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
(2)注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯
教学重点:能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围。
教学难点:求出函数的自变量的取值范围。
教学过程:
一、问题引新
1.设矩形花圃的垂直于墙(墙长18)的一边AB的长为xm,先取x的一些值,算出矩形的另一边BC的长,进而得出矩形的面积ym2.试将计算结果填写在下表的空格中,
AB长x(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC长(m) 12
面积y(m2) 48
2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗?
3.我们发现,当AB的长(x)确定后,矩形的面积(y)也随之确定, y是x的函数,试写出这个函数的关系式,教师可提出问题,(1)当AB=xm时,BC长等于多少m?(2)面积y等于多少? y=x(20-2x)
二、提出问题,解决问题
1、引导学生看书第二页 问题一、二
2、观察 概括
y=6x2 d= n /2 (n-3) y= 20 (1-x)2
以上 函数关系式有什么共同特点? (都是含有二次项)
3、二次函数定义:形如y=ax2+bx+c (a、b、、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项.
4、课堂练习
(1) (口答)下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=5x+1 (2)y=4x2-1
(3)y=2x3-3x2 (4)y=5x4-3x+1
(2).P3练习第1,2题。
五、小结 叙述二次函数的定义.
六、作业:课本第14页 习题1.2
七、板书
第二课时:26.1 二次函数(2)
教学目标:
1、使学生会用描点法画出y=ax2的图象,理解抛物线的有关概念。
2、使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。
教学重点:使学生理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象
教学难点:用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质。
教学过程:
一、问题引新
1,同学们可以回想一下,一次函数的性质是什么?
2.我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?
3.一次函数的图象是什么?二次函数的图象是什么?
二、学习新知
1、 例1、画二次函数y=2x2 与y=2x2的图象。(有学生自己完成)
解:(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:
(2)描点 (3)连线
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
找一名学生板演画图
提问:观察这个函数的图象,它有什么特点? (让学生观察,思考、讨论、交流,)
2、归纳:
抛物线概念:像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点坐标(0,0)
3、运用新知
(1).观察并比较两个图象,你发现有什么共同点?又有什么区别?
(2).课件出示:在同一直角坐标系中, y=2x2与y=-2x2的图象,观察并比较
(3).将所画的四个函数的图象作比较,你又能发现什么?(课件出示)
让学生观察y=x2、y=2x2的图象,填空;
当a>0时,抛物线y=ax2开口______,在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线自左向右______,______是抛物线上位置最低的点。
当X<0时,函数值y随着x的增大而______,当X>O时,函数值y随X的增大而______;当X=______时,函数值y=ax2 (a>0)取得最小值,最小值y=______
三、总结:函数y=ax2的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,它的顶点坐标是(0,0)。
四、课堂练习:练习册P 练习1、2、3、4。
五、作业: 1.画出函数y=1/2x2的图象?
      2.写出函数y=ax2具有哪些性质?
第三课时:二次函数(3)
教学目标:
1、使学生能利用描点法正确作出函数y=ax2+b的图象。
2、让学生经历二次函数y=ax2+b性质探究的过程,理解二次函数y=ax2+b的性质及它与函数y=ax2的关系。
教学重点:会用描点法画出二次函数y=ax2+b的图象,理解二次函数y=ax2+b的性质,理解函数y=ax2+b与函数y=ax2的相互关系。
教学难点:正确理解二次函数y=ax2+b的性质,理解抛物线y=ax2+b与抛物线y=ax2的关系。
教学过程:
一、提出问题导入新课
1.二次函数y=2x2的图象具有哪些性质?
2.猜想二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
二、学习新知
1、问题1:画出函数y=2x2和函数y=2x2+1的图象,并加以比较
问题2,你能在同一直角坐标系中,画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象吗?
同学试一试,教师点评。
问题3:当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值(既y)之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?
让学生观察两个函数图象,说出函数y=2x2+1与y=2x2的图象开口方向、对称轴相同,顶点坐标,函数y=2x2的图象的顶点坐标是(0,0),而函数y=2x2+1的图象的顶点坐标是(0,1)。
师:你能由函数y=2x2的性质,得到函数y=2x2+1的一些性质吗?
小组相互说说(一人记录,其余组员补充)
2、小组汇报:分组讨论这个函数的性质并归纳:当x<0时,函数值y随x的增大而减小;当x>0时,函数值y随x的增大而增大,当x=0时,函数取得最小值,最小值y=1。
3、做一做
在同一直角坐标系中画出函数y=2x2-2与函数y=2x2的图象,再作比较,说说它们有什么联系和区别?
三、小结 1、在同一直角坐标系中,函数y=ax2+k的图象与函数y=ax2的图象具有什么关系? 2.你能说出函数y=ax2+k具有哪些性质?
四、作业: 在同一直角坐标系中,画出 (1)y=-2x2与y=-2x2-2;的图像
五:板书
第四课时26.1  二次函数(4)
教学目标:
1.使学生能利用描点法画出二次函数y=a(x—h)2的图象。
2.让学生经历二次函数y=a(x-h)2性质探究的过程,理解其性质,理解二次函数
y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。
重点:会用画出二次函数y=a(x-h)2的图象,理解其性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系。
难点:理解二次函数y=a(x-h)2的性质,理解二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象的相互关系。
教学过程:
一、提出问题导入新课
1.在同一直角坐标系内,画出二次函数y=-12x2,y=-12x2-1的图象,并回答:
(1)两条抛物线的位置关系。
(2)说出它们所具有的公共性质。
2.二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?
二、学习新知
1、探究新知:学生画出二次函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象,并加以观察
教师巡视、指导。分组讨论,交流合作
2.、学生汇报:函数y=2(x-1)2与y=2x2的图象,开口方向、对称轴和顶点坐标;函数y=2(x一1)2的图象可以看作是函数y=2x2的图象怎样平移得到的。
师:由函数y=2x2的性质总结函数y=2(x-1)2的性质
3.让学生完成以下填空:
当x______时,函数值y随x的增大而减小;当x______时,函数值y随x的增大而增大;当x=______时,函数取得最______值y=______。
4、做一做
在同一直角坐标系中画出函数y=2(x+1)2与函数y=2x2的图象,并比较它们的联系和区别吗?
让学生讨论、交流,举手发言,归纳:在y=2(x+1)2中,当x<-1时,函数值y随x的增大而减小;当x>-1时,函数值y随x的增大而增大;当x=一1时,函数取得最小值,最小值y=0。
4、课堂练习: P11练习1、2、3。
三、小结:谈谈本节课的收获和体会。
四、作业
1.P19习题26.2 1(2)。
五、板书
第五课时26.1  二次函数(5)
教学目标:
1.使学生理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2.会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解函数y=a(x-h)2+k的性质。
重点:,理解函数y=a(x-h)2+k的性质以及图象与y=ax2的图象之间的关系,
难点:正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质
一、提出问题导入新课
1.函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
(函数y=2x2+1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)
2.函数y=2(x-1)2+1图象与函数y=2(x-1)2图象有什么关系?函数y=2(x-1)2+1有哪些性质?这就是本节要学习得内容。
二、学习新知
1、画图:在同一直角坐标系中画出函数y=2(x-1)2与y=2x2 y=2(x-1)2+1的图象,看看它们之间有何的关系? 在学生画函数图象时,教师巡视指导;
出示例3:你能发现函数y=2(x-1)2+1有哪些性质?
教师可组织学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,
函数y=2(x-1)2+1的图象可以看成是将函数y=2(x-1)2的图象向上平称1个单位得到的,也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。
当x<1时,函数值y随x的增大而减小,当x>1时,函数值y随x的增大而增大;当x=1时,函数取得最小值,最小值y=1。
2:出示4 (P10)
3、课堂练习:不画图像说说函数y=2(x-1)2-2与y=2(x-1)2的异同点
三、小结
1.通过本节课的学习,你学到了哪些知识?还存在什么困惑?
2.谈谈你的学习体会。
四、作业:
1.巳知函数y=-12x2、y=-12x2-1和y=-12(x+1)2-1
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象;
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(3)试说明:分别通过怎样的平移,可以由抛物线y=-12x2得到抛物线y=-12x2-1和抛物线y=12(x+1)2-1;
思考:函数y=2(x-1)2+k的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
五、板书:
第六课时26.1  二次函数(6)
教学目标:
1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象。
2.使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解二次函数y=ax2+bx+c的性质。
重点:用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
难点:理解二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x=-b2a、(-b2a,4ac-b24a)是教学的难点。
教学过程:
一、提出问题导入新课
1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?具有哪些性质?
2.函数y=-4(x-2)2+1图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?
3.不画出图象,你能直接说出函数y=-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了
二、学习新知
1、 思考: 像函数 y=-4(x-2)2+1很容易说出图像的顶点坐标,函数y=-1/2x2-6x+21能画成y=a(x-h)2+k 这样的形式吗?
2、 师生合作探索: y=-1/2x2-6x+21 变成 y=a(x-h)2+k的过程
3、做一做
(1). 通过配方变形,说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,这个函数有值还是最小值?这个值是多少?
在学生做题时,教师巡视、指导; 让学生总结配方的方法;思考函数的值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?
以上讲的,都是给出一个具体的二次函数,来研究它的图象与性质。那么,对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?
教师组织学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,汇报结果:
y=ax2+bx+c(配方变形的过程略)
当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下。
对称轴是x=-b/2a,顶点坐标是(-b2a,4ac-b24a)
(2)、 P12练习第1、2、3、4题
4、待定系数法求二次函数解析式(引导学生自学看书12页)
5、练一练 P13练习第1、2
三、小结: 通过本节课的学习,你学到了什么知识?有何体会?
四、作业: 
1.填空:
(1)抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标是_______;
(2)抛物线y=2x2-2x-52的开口_______,对称轴是_______;
(3)二次函数y=ax2+4x+a的值是3,则a=_______.
2.画出函数y=2x2-3x的图象,说明这个函数具有哪些性质。
3. 通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y=3x2+2x; (2)y=-x2-2x
(3)y=-2x2+8x-8 (4)y=12x2-4x+3
4.求二次函数y=mx2+2mx+3(m>0)的图象的对称轴,并说出该函数具有哪些性质
五:板书

第七课时26.2 用函数的观点看一元二次方程(1)
教学目标:
1.通过探索,使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。
2.使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题,提高学生用数学的意识。
3.进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合思想。
重点:使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系,能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题。
难点:进一步培养学生综合解题能力,渗透数形结合的思想。.
教学过程:
一、引导学生看书16页 导入新课
像书中这样的问题,我们常常会遇到,如拱桥跨度、拱高计算等,利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题,具有很现实的意义。本节课,我和同学们共同研究,尝试解决以下几个问题。
二、探索问题,学习新知
1、问题1:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内,柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图(1)所示。
根据设计图纸已知:如图(2)中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是
y=-x2+2x+45。
(1)喷出的水流距水平面的高度是多少?
(2)如果不计其他的因素,那么水池至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?
思路如下:
(1).让学生讨论、交流,如何将文学语言转化为数学语言,得出问题(1)就是求函数y=-x2+2x+45值,问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标;
(2)学生解答,教师巡视指导;一两位同学板演,教师点评。
2、出示例题:画出函数y=x2-x-34的图象。 如图(4)所示。
教师引导学生观察函数图象,得到图象与x轴交点的坐标分别是(-12,0)和(32,0)。
让学生完成解答。教师巡视指导并讲评。
教师组织学生分组讨论、交流,各组选派代表发表意见,全班交流,从“形”的方面看,函数y=x2-x-34的图象与x轴交点的横坐标,即为方程x2-x-34=0的解;从“数”的方面看,当二次函数y=x2-x-34的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程x2-x-34=0的解。更一般地,函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2+bx+c=0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程ax2+bx+c=0的解,这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。
3、应用新知
根据图(4)象回答下列问题。
(1)当x取何值时,y<0?当x取何值时y>0,?
(当-12<x<32时,;当x<-12或x>32时,y>0)
y<0 即x2-x-34<0的解集是什么? y>0 即x2-x-34>0的解集是什么?)
想一想:二次函数与一元二次不等式有什么关系?
让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系,讨论、交流:
(1)从“形”的方面看,二次函数y=ax2+bJ+c在x轴上方的图象上的点的横坐标,即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;在x轴下方的图象上的点的横坐标.即为一元二次不等式ax2+bx+c<0的解。
(2)从“数”的方面看,当二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解;当二次函数y=ax2+bx+c的函数值小于0时,相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2+bc+c<0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。
三、小结:
1.通过本节课的学习,你有什么收获?有什么困惑?
2.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点,试说明,元二次方程
ax2+bx+c=0和一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0的解的情况。
四、作业:
1. 二次函数y=x2-3x-18的图象与x轴有两交点,求两交点间的距离。
2.已知函数y=x2-x-2。
(1)先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,再画出图象
(2)观察图象确定:x取什么值时,①y=0,②y>0;③y<0。
五、板书:

第八课时:26.2 用函数的观点看一元二次方程(2)
教学目标:
1.复习巩固用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c=0的解。
2.让学生体验函数y=x2和y=bx+c的交点的横坐标是方程x2=bx+c的解的探索过程,掌握用函数y=x2和y=bx+c图象交点的方法求方程ax2=bx+c的解。
3.提高学生综合解题能力,渗透数形结合思想。
重点;用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。
难点:提高学生综合解题能力,渗透数形结合的思想是教学的难点。
教学过程:
一、复习巩固 导入新课
1.如何运用函数y=ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c的解?
2.画出函数y=2x2-3x-2的图象,求方程2x2-3x-2=0的解。
学生练习的同时,教师巡视指导,根据学生情况进行讲评。 (解:略)
二、探索问题 学习新知
1、问题1:初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论:求方程x2=12x十3的解时,几乎所有学生都是将方程化为x2-12x-3=0,画出函数y=x2-12x-3的图象,观察它与x轴的交点,得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项,而是分别画出了函数y=x2和y=12x+2的图象,如图(3)所示,认为它们的交点A、B的横坐标-32和2就是原方程的解.
思考:
(1). 这两种解法的结果一样吗? 小刘解法的理由是什么?
(让学生讨论,交流,发表不同意见,并进行归纳。)
(2).函数y=x2和y=bx+c的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明?
(3)函数y=x2和y=bx+c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2=bx+c的解吗?
(4).如果函数y=x2和y=bx+c图象没有交点,一元二次方程x2=bx+c的解怎样?
2、做一做(验证一下问题1的思路是否正确)
利用图像解下列方程的解,并检验小刘的方法是否合理。
(1)x2+x-1=0(精确到0.1); (2)2x2-3x-2=0。
注意:①要把(1)的方程转化为x2=-x+1,画函数y=x2和y=-x+1的图象;
②要把(2)的方程转化为x2=32x+1,画函数y=x2和y=32x+1的图象;
3、运用新知
已知抛物线y1=2x2-8x+k+8和直线y2=mx+1相交于点P(3,4m)。
(1)求这两个函数的关系式;
(2)当x取何值时,抛物线与直线相交,并求交点坐标。
解:(1)因为点P(3,4m)在直线y2=mx+1上,所以有4m=3m+1,解得m=1
所以y1=x+1,P(3,4)。 因为点P(3,4)在抛物线y1=2x2-8x+k+8上,所以有
4=18-24+k+8 解得 k=2 所以y1=2x2-8x+10
(2)依题意,得y=x+1y=2x2-8x+10 解这个方程组,得x1=3y1=4 ,x2=1.5y2=2.5
所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3,4),(1.5,2.5)。
三、小结: 1.如何用画函数图象的方法求方程韵解?
2.你能根据方程组:y=x2y=bx+c的解的情况,来判定函数y=x2与y=bx+c图象交点个数吗?请说说你的看法。
四、作业:
1. 利用函数的图象求下列方程的解:
(1)x2+x-6=0;, (2) y=x2+xy=5x-4
2.填空。
(1)抛物线y=x2-x-2与x轴的交点坐标是______,与y轴的交点坐标是______。
(2)抛物线y=2x2-5x+3与y轴的交点坐标是______,与x轴的交点坐标是______。
4.已知抛物线y1=x2+x-k与直线y=-2x+1的交点的纵坐标为3。
(1)求抛物线的关系式;
(2)求抛物线y=x2+x-k与直线y=-2x+1的另一个交点坐标.
五、板书:

第九课时26.1  实际问题与二次函数
教学目标:
1.能根据实际问题列出函数关系式、
2.使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量x的取值范围。
3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识。
重点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,应用函数的性质解答数学问题
难点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围,
教学过程:
一、复习旧知 导入新课
1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y=6x2+12x; (2)y=-4x2+8x-10
以上两个函数,哪个函数有值,哪个函数有最小值?说出两个函数的值、最小值分别是多少?
有了前面所学的知识,现在就可以应用二次函数的知识去解决生活中的实际问题。
二、学习新知
1、应用二次函数的性质解决生活中的实际问题
出示例1、要用总长为60m的篱笆围成一个矩形的场地,矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化,当L是多少时,围成的矩形面积S?
解:设矩形的一边为Lm,则矩形的另一边为(30-L)m,由于L>0,且30-L>O,所以O<L<30。
围成的矩形面积S与L的函数关系式是
S=L(30-L)
即S=-L2+30L
(有学生自己完成,老师点评)
2、引导学生自学P23页例2 质疑 点评
3、练一练:
(1)、某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售,一天可销出约100件,该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润,经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润?
请同学们完成解答; 教师巡视、指导; 师生共同完成解答过程:
解:设每件商品降价x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y元。
商品每天的利润y与x的函数关系式是: y=(10-x-8)(100+1OOx)
即y=-1OOx2+1OOx+200 配方得y=-100(x-12)2+225
因为x=12时,满足0≤x≤2。 所以当x=12时,函数取得值,值y=225。
所以将这种商品的售价降低0.5元时,能使销售利润。
小结:让学生回顾解题过程,讨论、交流,归纳解题步骤:
(1)先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;
(2)研究自变量的取值范围;
(3)研究所得的函数;
(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内,并求相关的值:
(5)解决提出的实际问题。
4、综合练习:P26 习题第1、2、3题。
三、小结: 1.通过本节课的学习,你学到了什么知识?存在哪些困惑?
    2.谈谈你的收获和体会。
四、作业:
1.已知一个矩形的周长是24cm。(1)写出矩形面积S与一边长a的函数关系式。(2)当a长多少时,S?
2.填空:
(1)二次函数y=x2+2x-5取最小值时,自变量x的值是______;
(2)已知二次函数y=x2-6x+m的最小值为1,那么m的值是______。
3.如图(1)所示,要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,没靠墙的篱笆长度为xm。
(1)要使鸡场的面积,鸡场的长应为多少米?
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积,鸡场的长应为多少米?
(3)比较(1)、(2)的结果,你能得到什么结论?
选做题:用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时,才能使做成的窗框的透光面积?透光面积是多少?
五、板书

第十课时26.1实际问题与二次函数
教学目标:
1.能根据实际问题列出函数关系式、
2.使学生能根据问题的实际情况,确定函数自变量x的取值范围。
3.通过建立二次函数的数学模型解决实际问题,培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生用数学的意识。
重点:根据实际问题建立二次函数不同的数学模型,应用函数的性质解答数学问题
难点:根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围,
教学过程:
一、复习旧知 导入新课
(1)建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA。O恰好在水面中心,布置在柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,且在过OA任意平面上的抛物线如图(5)所示,建立直角坐标系(如图(6)),水流喷出的高度y(m)与水面距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+52x+32,请回答下列问题:
(1)花形柱子OA的高度;
(2)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水不至于落在池外?
(2).如图(7),一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线y=-15x2+3.5
二、学习新知
1、引导学生自学P24页例2(既探究2) 质疑 点评
出示例3 P25 引导学生应用不同的方法去构建数学模型
重点讲解例3
2、练一练:
(1).如图是抛物线拱桥,已知水位在AB位置时,水面宽46米,水位上升3米就达到警戒线CD,这时水面宽43米,若洪水到来时,水位以每小时0.25米速度上升,求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?
三、小结: 
1.通过本节课的学习,你学到了什么知识?存在哪些困惑?
2.谈谈你的收获和体会。
四、作业:
一个涵洞成抛物线形,它的截面如图(3)所示,现测得,当水面宽AB=1.6m时,涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时,离开水面1.5m处,涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?
五、板书


第十一课时《二次函数》小结与复习1
教学目标:
1、 理解二次函数的概念,掌握二次函数y=ax2的图象与性质;
2、 会用描点法画抛物线,能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向;
3、 能较熟练地由抛物线y=ax2经过适当平移得到y=a(x-h)2+k的图象。
重点:用配方法求二次函数的顶点、对称轴,由图象概括二次函数y=ax2图象的性质。
难点:二次函数图象的平移。
教学过程:
一、结合例题,强化练习,梳理知识点
1.二次函数的概念,二次函数y=ax2 (a≠0)的图象性质。
例1:已知函数 是关于x的二次函数,
求:(1)满足条件的m值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当x为何值时,y随x的增大而增大?
(3)m为何值时,函数有值?值是什么?这时当x为何值时,y随x的增大而减小?
学生活动:学生四人一组进行讨论,并回顾例题所涉及的知识点,让学生代表发言分析解题方法,以及涉及的知识点。
抛物线的增减性要结合图象进行分析,要求学生画出草图,渗透数形结合思想,进行观察分析。
2.强化练习;已知函数 是二次函数,其图象开口方向向下,则m=_____,顶点为_____,当x_____0时,y随x的增大而增大,当x_____0时,y随x的增大而减小。
3.用配方法求抛物线的顶点,对称轴;抛物线的画法,平移规律,
例2:用配方法求出抛物线y=-3x2-6x+8的顶点坐标、对称轴,并画出函数图象,说明通过怎样的平移,可得到抛物线y=-3x2。
学生活动:小组讨论配方方法,确定抛物线画法的步骤,探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。
4.教师归纳点评:
(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义,指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系: y=ax2+bx+c————→y=a(x+b2a)2+4ac-b24a
(2)强调利用抛物线的对称性进行画图,先确定抛物线的顶点、对称轴,利用对称性列表、描点、连线。
(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动。
5.综合应用。
例3:如图,已知直线AB经过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B、C两点,已知B点坐标为(1,1)。
(1)求直线和抛物线的解析式;
(2)如果D为抛物线上一点,使得△AOD与△OBC的面积相等,求D点坐标。
6. 强化练习:
(1)抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,求:b与c的值。
(2)通过配方,求抛物线y=12x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标再画出图象。
(3)函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1,b),求:
a和b的值
抛物线y=ax2的顶点和对称轴;
x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大,
求抛物线与直线y=-2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。
二、课堂小结
1.让学生反思本节教学过程,归纳本节课复习过的知识点及应用。
三、作业:
填空。
1.若二次函数y=(m+1)x2+m2-2m-3的图象经过原点,则m=______。
2.函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k=______,b=______。
3.抛物线y=-13(x-1)2+2可以由抛物线y=-13x2向______方向平移______个单位,再向______方向平移______个单位得到。
4.用配方法把y=-12x2+x-52化为y=a(x-h)2+k的形式为y=_____,其开口方向______,对称轴为______,顶点坐标为______。
第十二课时《二次函数》小结与复习2
教学目标:
1、 会用待定系数法求二次函数的解析式,
2、 能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质,
3、 能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。
重点;用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。
难点:会运用二次函数知识解决有关综合问题。
教学过程:
一、结合例题,强化练习,梳理知识点
1、用待定系数法确定二次函数解析式.
例1:根据下列条件,求出二次函数的解析式。
(1)抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,1),(1,3),(-1,1)三点。
(2)抛物线顶点P(-1,-8),且过点A(0,-6)。
(3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(3,0),(2,-3)两点,并且以x=1为对称轴。
(4)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=-3/2x+3的图象与x轴、y轴的交点;且过(1,1),求这个二次函数解析式,并把它化为y=a(x-h)2+k的形式。
学生活动:学生讨论,四个小题应选择什么样的函数解析式?并让学生阐述解题方法。分组完成,点评解题要点。
教师归纳:二次函数解析式常用的有三种形式:
(1)一般式:y=ax2+bx+c (a≠0)
(2)顶点式:y=a(x-h)2+k (a≠0)
(3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
2、强化练习:已知二次函数的图象过点A(1,0)和B(2,1),且与y轴交点纵坐标为m。
(1)若m为定值,求此二次函数的解析式;
(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点,求m的取值范围。
二、综合练习
1、出示例2:如图,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C。
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标,
(3)若点M在第四象限内的抛物线上,且OM⊥BC,垂足为D,求点M的坐标。
学生活动:学生小组讨论交流。
教师归纳:
2、 强化练习;已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1。
(1)求证不论m为何值,函数图象与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点。
(2)当m为何值时,函数图象过原点,并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。
(3)若函数图象的顶点在第四象限,求m的取值范围。
三、课堂小结
同位同学相互说说二次函数有哪些性质
归纳二次函数三种解析式的实际应用。
四、作业:
一、填空。
1. 如果一条抛物线的形状与y=-13x2+2的形状相同,且顶点坐标是(4,-2),则它的解析式是_____。
2.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且过(3,0),则a+b+c=______。
二、选择。
1.如图(1),二次函数y=ax2+bx+c图象如图所示,则下列结论成立的是( )
A.a>0,bc>0 B. a<0,bc<0 C. a>O,bc<O D. a<0,bc>0

2.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(2)所示,那么函数解析式为( )
A.y=-x2+2x+3 B. y=x2-2x-3
C.y=-x2-2x+3 D. y=-x2-2x-3
3.若二次函数y=ax2+c,当x取x1、x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为( )
A.a+c B. a-c C.-c D. c
4.已知二次函数y=ax2+bx+c图象如图(3)所示,下列结论中: ①abc>0,②b=2a;③a+b+c<0,④a-b+c>0,正确的个数是( )
A.4个 B.3个 C. 2个 D.1个
三、解答题。
已知抛物线y=x2-(2m-1)x+m2-m-2。
(1)证明抛物线与x轴有两个不相同的交点,
(2)分别求出抛物线与x轴交点A、B的横坐标xA、xB,以及与y轴的交点的纵坐标yc(用含m的代数式表示)
(3)设△ABC的面积为6,且A、B两点在y轴的同侧,求抛物线的解析式。

第22章 一元二次方程

  学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程 —— 一元二次方程。“一元二次方程”一章就来认识这种方程,讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。

  本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念,给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解,对一元二次方程的解加以体会,并给出一元二次方程的根的概念,

  “22.2降次——解一元二次方程”一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。

  (1)在介绍配方法时,首先通过实际问题引出形如 的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如 的方程,由平方根的概念,可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如 的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如 的方程,引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及二次项系数不是1的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程,学了“公式法”以后,学生对这个内容会有进一步的理解。

  (2)在介绍公式法时,首先借助配方法讨论方程 的解法,得到一元二次方程的求根公式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中,涉及有两个相等实数根的一元二次方程,也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。

  (3)在介绍因式分解法时,首先通过实际问题引出易于用因式分解法的一元二次方程,引出因式分解法。然后安排运用因式分解法解一元二次方程的例题。最后对配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法进行小结。

  “22.3实际问题与一元二次方程”一节安排了四个探究栏目,分别探究传播、成本下降率、面积、匀变速运动等问题,使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

  第23章 旋转

  学生已经认识了平移、轴对称,探索了它们的性质,并运用它们进行图案设计。本书中图形变换又增添了一名新成员――旋转。“旋转”一章就来认识这种变换,探索它的性质。在此基础上,认识中心对称和中心对称图形。

  “23.1旋转”一节首先通过实例介绍旋转的概念。然后让学生探究旋转的性质。在此基础上,通过例题说明作一个图形旋转后的图形的方法。最后举例说明用旋转可以进行图案设计。

  “23.2中心对称”一节首先通过实例介绍中心对称的概念。然后让学生探究中心对称的性质。在此基础上,通过例题说明作与一个图形成中心对称的图形的方法。这些内容之后,通过线段、平行四边形引出中心对称图形的概念。最后介绍关于原点对称的点的坐标的关系,以及利用这一关系作与一个图形成中心对称的图形的方法。

  “23.3课题学习 图案设计”一节让学生探索图形之间的变换关系(平移、轴对称、旋转及其组合),灵活运用平移、轴对称、旋转的组合进行图案设计。

  第24章 圆

  圆是一种常见的图形。在“圆”这一章,学生将进一步认识圆,探索它的性质,并用这些知识解决一些实际问题。通过这一章的学习,学生的解决图形问题的能力将会进一步提高。

  “24.1圆”一节首先介绍圆及其有关概念。然后让学生探究与垂直于弦的直径有关的结论,并运用这些结论解决问题。接下来,让学生探究弧、弦、圆心角的关系,并运用上述关系解决问题。最后让学生探究圆周角与圆心角的关系,并运用上述关系解决问题。

  “24.2与圆有关的位置关系”一节首先介绍点和圆的三种位置关系、三角形的外心的概念,并通过证明“在同一直线上的三点不能作圆”引出了反证法。然后介绍直线和圆的三种位置关系、切线的概念以及与切线有关的结论。最后介绍圆和圆的位置关系。

  “24.3正多边形和圆”一节揭示了正多边形和圆的关系,介绍了等分圆周得到正多边形的方法。

  “24.4弧长和扇形面积”一节首先介绍弧长公式。然后介绍扇形及其面积公式。最后介绍圆锥的侧面积公式。

  第25 章 概率初步

  将一枚硬币抛掷一次,可能出现正面也可能出现反面,出现正面的可能性大还是出现反面的可能性大呢?学了“概率”一章,学生就能更好地认识这个问题了。掌握了概率的初步知识,学生还会解决更多的实际问题。

  “25.1概率”一节首先通过实例介绍随机事件的概念,然后通过掷币问题引出概率的概念。

  “25.2用列举法求概率”一节首先通过具体试验引出用列举法求概率的方法。然后安排运用这种方法求概率的例题。在例题中,涉及列表及画树形图。

  “25.3利用频率估计概率”一节通过幼树成活率和柑橘损坏率等问题介绍了用频率估计概率的方法。

  “25.4课题学习 键盘上字母的排列规律”一节让学生通过这一课题的研究体会概率的广泛应用。

为大家整理的2014年初三年级数学第十章圆知识点整理的文章,供大家学习参考!

★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

☆ 内容提要☆

一、圆的基本性质

1.圆的定义(两种)

2.有关概念:弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3.“三点定圆”定理

4.垂径定理及其推论

5.“等对等”定理及其推论

5. 与圆有关的角:⑴圆心角定义(等对等定理)

⑵圆周角定义(圆周角定理,与圆心角的关系)

⑶弦切角定义(弦切角定理)

二、直线和圆的位置关系

1.三种位置及判定与性质:

2.切线的性质(重点)

3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵…

4.切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1.五种位置关系及判定与性质:(重点:相切)

2.相切(交)两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线:⑴定义⑵性质

四、与圆有关的比例线段

1.相交弦定理

2.切割线定理

五、与和正多边形

1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)

2.三角形的外接圆、内切圆及性质

3.圆的外切四边形、内接四边形的性质

4.正多边形及计算

中心角:

内角的一半: (右图)

(解Rt△OAM可求出相关元素, 、 等)

六、 一组计算公式

1.圆周长公式

2.圆面积公式

3.扇形面积公式

4.弧长公式

5.弓形面积的计算方法

6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

七、 点的轨迹

六条基本轨迹

八、 有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆

2.平分已知弧

3.作已知两线段的比例中项

4.等分圆周:4、8;6、3等分

九、 基本图形

十、 重要辅助线

1.作半径

2.见弦往往作弦心距

3.见直径往往作直径上的圆周角

4.切点圆心莫忘连

5.两圆相切公切线(连心线)

6.两圆相交公共弦

数学知识点相关知识

1.物体的表面或封闭图形的大小,就是他们的面积。  2.比较两个图形面积的大小,要用统一的面积单位来测量。  3.常用的面积单位有平方厘米(cm2),平方分米(dm2)、平方米(m2)。  4.边长1厘米的正方形面积是1平方厘米。  5.边长1分米的正方形面积是1平方分米。  6.边长1米的正方形面积是1平方米。  7.边长100米的正方形面积是1公顷(10000平方米)。  8.边长1千米(10
第二十七章相似  一、图形的相似  1.图形的相似:如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。(相似的符号:∽)性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等。  2.判定:如果两个多边形满足对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似。 3.相似比:相似多边形的对应边的比叫相似比。相似比为1时,相似的两个图形全等。  二、相似三角形  1.性质:平行于三角形一边的直线和其他两
28.1锐角三角函数1.Rt△ABC中∠A的对边(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦,记作sinA= 斜边∠A的邻边(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦,记作cosA= 斜边∠A的对边(3)∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切,记作tanA= ∠A的邻边∠A的邻边(4)∠A的邻边与对边的比值是∠A的余切,记作cota= ∠A的对边28.2解直角三角形解直角三角形 一、锐角三角函数 (一)、锐
26.1 二次函数及其图像  二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。  一般的,自变量x和因变量y之间存在如下关系:  一般式  y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为(-b/2a,-(4ac-b∧2)/4a) ;  顶点式  y=
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)抛物线与x轴交点个数6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。Δ= b^2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。_______Δ= b^2-4ac0时,函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b&sup2;/4a;在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|

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